Precalculus: Funktionen I

Nächster Termin: 24. bis 25. Mai 2024
Kursleitung: Dmitrij Nikolenkov
Autor: Armin P. Barth
Schulstufe: 9. und 10. Schuljahr, Gymnasium
Umfang: ein Semester
Kosten: 600 CHF

Vergrösserte Ansicht: Hotellooby — Die Abbildung illustriert, was eine mathematische Funktion ist: Nach einer bestimmten Regel wird jedem zulässigen Input (hier: jedem möglichen Hotelgast) genau ein Output (hier: ein Hotelzimmer) aus einer definierten Menge möglicher Outputs zugeordnet. Die konkrete Zuordnung wird meist durch eine Funktionsgleichung beschrieben, was hier natürlich kaum realistisch ist. Immerhin könnte man sich aber zum Beispiel denken, dass jeder mögliche Gast durch eine natürliche Zahl n codiert wird und dass die Zimmerzuordnung stets nach der Regel n→n² geschieht. So käme dann der Gast 1 im Zimmer 1, der Gast 2 im Zimmer 4, der Gast 3 im Zimmer 9 unter, und so weiter.

Ein Teil der vorliegenden Unterrichtseinheit, nämlich die Materialien zur Steigung linearer Graphen, ist empirisch getestet worden. Diese Untersuchung wird demnächst publiziert:

Schalk, L., Schumacher, R., Barth, A., Stern, E.: «When problem-solving followed by instruction is superior to the traditional tell-and-practice sequence». In: Journal of Educational Psychology

Insgesamt nahmen 189 Schülerinnen und Schüler (darunter 94 Schülerinnen, Altersdurchschnitt: 15.6 Jahre) aus verschiedenen Gymnasialklassen an dieser Studie teil. Drei verschiedene Arten von Aufträgen wurden randomisiert auf die Schülerinnen und Schüler verteilt: (1) Eine Gruppe erhielt zu Beginn die Definition der Steigung linearer Graphen und bearbeitete anschliessend Aufgaben zur Vertiefung des Gelernten (Tell & Practice). (2) Eine andere Gruppe hat zunächst Selbsterklärungs-Aufträge zum Steigungskonzept bearbeitet und erhielt die Definition der Steigung erst im Anschluss an diese Aktivität (Self-Explanations). (3) Die Schülerinnen und Schüler in einer weiteren Gruppe wurden aufgefordert, zuerst durch Untersuchen von kontrastierenden Fällen das Konzept der Steigung selber zu erfinden. Erst danach wurde ihnen das Steigungskonzept präsentiert (Inventing with Contrasting Cases).

Es wurde erwartet, dass das Erfinden mit kontrastierenden Fällen (ICC) die Schülerinnen und Schüler durch das Aktivieren von Vorwissen, der Einsicht in die eigenen Wissensgrenzen und der Förderung des Verständnisses der Problemstellung besonders gut auf das Lernen vorbereitet und daher zu den stärksten Lerngewinnen führt. In Übereinstimmung mit dieser Vermutung konnte tatsächlich gezeigt werden, dass das Erfinden mit kontrastierenden Fällen den beiden anderen Aktivitäten überlegen war. Einen Ausschnitt aus dem ICC-Arbeitsblatt finden Sie hier: DownloadPDF (PDF, 264 KB)

Die Unterrichtseinheit bietet ausgearbeitetes und kopierfähiges Material für ungefähr ein Semester. Nebst zahlreichen anregenden und kognitiv aktivierenden Arbeits- und Aufgabenblättern, die den Lernenden ausgeteilt werden können, enthält die Unterrichtseinheit auch Lesetexte, die der Lehrperson als Grundlage für den Unterricht dienen und/oder den Lernenden zur Lektüre empfohlen werden können. Eine detaillierte Ablaufplanung pro Sequenz sowie didaktisch-methodische Hinweise runden das Angebot ab.

Der Zugang zu den gängigen Inhalten ist innovativ: Dank zahlreichen gut durchdachten Selbsterklärungsaufgaben werden die Schülerinnen und Schüler in die Lage versetzt, die Stoffe von allen Seiten zu durchdenken und in eigenen Worten zu erklären, sie werden dazu angeregt, selber zu begründen und zu argumentieren. Auch andere besondere Unterrichtsformen, wie etwa ICC (Inventing with Contrasting Cases), fördern das aktive Konstruieren neuer Konzepte. Das Besondere dieses Angebotes sind also nicht die Inhalte, die natürlich üblich und breit abgestützt sind, sondern die Methoden, mit denen die Lernenden zu einer aktiven Auseinandersetzung mit den Stoffen angeregt werden. Mit dem folgenden Auftrag sollen die Schülerinnen und Schüler auf die Einführung des mathematischen Funktionsbegriffs vorbereitet werden, indem sie selber einfache Funktionen konstruieren:

In vielen Bereichen unseres Lebens spielen Roboter eine immer wichtigere Rolle. Nebst Operationsrobotern gibt es Roboter, die Böden reinigen, Rasen mähen, Minen suchen, Autos herstellen, den Mars erkunden, und so weiter. Nehmen wir an, wir haben einen Roboter hergestellt, der auf Rädern mit einem Durchmesser von 6 Zentimetern fährt. Die Geschwindigkeit ist so eingestellt worden, dass die Räder 30 Umdrehungen pro Minute machen

a) Welche Strecke legt der Roboter in 2, 5, 10, 11.3 Minuten zurück?

b) Welche Strecke legt der Roboter in x Minuten zurück? Können Sie eine Formel finden, die jeder beliebigen Zahl von Minuten die Länge der in dieser Zeit zurückgelegten Strecke zuordnet?

c) Gibt es bezüglich der Zahlen, die für x erlaubt sein sollen, irgendwelche Einschränkungen?

d) In b) haben Sie jeder beliebigen Anzahl Minuten die in dieser Zeitspanne zurückgelegte Weglänge zugeordnet. Können Sie auch umgekehrt eine Zuordnung finden, die jeder möglichen Weglänge die dafür benötigte Anzahl Minuten zuordnet?

Sequenz 1: Was ist eine Funktion?

Sequenz 2: Graphen

Sequenz 3: Positivität, Negativität, Nullstellen, y-Achsenabschnitt, Monotonie, Symmetrie

Sequenz 4: Die lineare Funktion

Sequenz 5: Die quadratische Funktion (Polynomfunktionen)

Sequenz 6: Bijektive Funktionen und Umkehrfunktion

Sequenz 7: Verknüpfen und Verketten