Grüne Berichte

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In den Jahren 1989 bis 2001 entstanden am Departement Mathematik  der ETH Zürich rund 50 "Berichte über Mathematik und Unterricht",  herausgegeben von Prof. Urs Kirchgraber. Die Grundtendenz dieser  sogenannten "Grünen Berichte" – der Name stammt von den  Deckblättern mit der besagten Farbe – besteht darin, bedeutsame  mathematische Themen im Hinblick auf ihr didaktisches Potenzial als  Unterrichtsgegenstand im Gymnasium zu reflektieren. Als Autoren  zeichneten ETH-Professoren, Fachdidaktiker und auch  Mathematiklehrpersonen mit oft langjähriger Unterrichtserfahrung an Gymnasien.

Ein paar beliebig ausgewählte Titel sollen stellvertretend die  grosse Bandbreite der behandelten Themen illustrieren: Fraktale;  Chaotisches Verhalten in einfachen Systemen; Annäherung an den  Goldenen Schnitt; KS Flight Simulator; Der Regenbogen – ein Projekt  im Mathematikunterricht.

Obwohl die Reihe im Jahr 2001 zum Abschluss kam, werden die Texte  immer wieder nachgefragt. Um der steten Nachfrage gerecht zu werden und um zugleich den administrativen Aufwand zu reduzieren, sind die "Grünen Berichte" nun online verfügbar.

Die Keplersche Gleichung (PDF, 5.4 MB)
R. Strebel (2001)

Im Jahre 1609 veröffentlichte Johannes Kepler seine Astronomia Nova, ein umfangreiches Werk, in dem er ein neues Modell der Bewegung der Planeten erarbeitete. Ebenso wie die Modelle aus früherer Zeit hatte das neue Modell den Zweck, die Positionen der Planeten berechenbar zu machen. Als Kepler die Positionsberechnungen anging, stiess er auf eine Gleichung, die sich in der heute gebräuchlichen Schreibweise so wiedergeben lässt:

In dieser Arbeit erklärt der Autor, wie Kepler auf die Gleichung geführt wurde und welche Bedeutung ihr für die Beschreibung der Bewegung der Planeten und Kometen zukommt. Weiter stellt er verschiedene Verfahren vor, mit denen diese Gleichung gelöst werden kann.

Entleerung eines Stausees (PDF, 1.5 MB)
von D. Reichmuth, S. Schwehr (2001)

Stauanlagen bieten eine Fülle von Themen, welche Schüler interessieren können. Vom Standpunkt der Mathematik aus gesehen, sind insbesondere die Entleerung und Regulierung einer Stauanlage interessant. Davon handelt dieser projektartige Unterricht. 

Vermessung eines Sees (PDF, 1.9 MB)
von M. Heidenreich, M. Ludwig, W. Ringkowski (2001)

Viele Schülerinnen und Schüler haben nur unzureichende Vorstellungen von im Alltag vorkommenden Winkeln, Längen und Flächen. Ein Koordinatensystem in Mathematik und z.B. das Gradnetz der Erde im Erdkundeunterricht scheinen zwei vollständig verschiedene Dinge zu sein. Das Projekt Seevermessung möchte dazu beitragen, dass die Schülerinnen und Schüler erleben, wie zentrale Ideen aus der Mathematik (z.B. das Koordinatensystem oder Winkel) sich in der Praxis als sehr gutes und wichtiges Hilfsmittel erweisen. 

Pyramiden (PDF, 3.2 MB)
von D. Hottiger, O. Rebhan (2001)

In diesem Bericht werden Pyramiden aus verschiedenen - nicht nur mathematischen - Aspekten beleuchtet. Dadurch erhalten die Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit, sich gemäss ihren Interessen für einen Themenbereich zu entscheiden. Das handwerkliche Arbeiten ist einer der Kernpunkte des Projektes.    

Public Key - Kryptographie (PDF, 850 KB)
von F. Blättler, R. Sutter (1999)

Ziel dieses Berichtes ist es, Gymnasistinnen und Gymnasisten den Zugang zur Kryptologie und zugleich das Programmieren auf dem TI-92 zu ermöglichen. Es sind keine Vorkennisse in Kryptologie notwendig. 

Mathematisches Billard (PDF, 172 KB) (PDFWord
von M. Bettinaglio, F. Lehmann (1998)

Was ist mathematisches Billiard? Und wozu soll es dienen? Zwei Vorschläge zu projektartigem Unterricht.

Der Regenbogen - ein Projekt im Mathematikunterricht (PDF, 1.9 MB)
von B. Dzung Wong, H.-W. Henn (1998)

Der Regenbogen hat seit jeher auf Menschen eine besondere Faszination ausgeübt. Einerseits durch seine leuchtenden Farben, andererseits durch seine elegante Bogenform. Dieser Bericht zeigt, wie mit der Mittelschulmathematik die Entstehung des Regenbogens verständlich gemacht werden kann. 

Parabeln - ein Projekt im Mathematikunterricht (PDF, 1.7 MB)
von J.-P. David, P. Hänsli, M. Leupp (1998)

In diesem Bericht sind vier verschiedene Schüleraufträge zum Thema Parabeln zusammengefasst. 

Platonische Durchdringungen - ein Projekt im Mathematikunterricht der Klasse 10 (PDF, 1.4 MB)
von M. Ludwig (1998)

Das Projektthema eignet sich für mehrere Jahrgangsstufen und ergibt sich aus der Ästhetik der platonischen Körper und ihrer Sternformen. "Solch einen Körper 2-dimensional auf Papier zu sehen, ist schon beeindruckend. Ihn in Realität vor sich zu haben, ist ein Erlebnis", schreiben die Autoren. 

Geometrie aus Schülersicht: Charakteristika und Probleme (PDF, 701 KB)
von H. Struve (1998)

Nach einer verbreiteten Vorstellung unter Mathematiklehrern lernen Schüler im Unterricht das, was der Lehrperson vorschwebt - natürlich nicht im vollen Umfang, aber im "wesentlichen". Der Bericht zeigt, dass diese Vorstellungen "im wesentlichen" falsch ist. 

KS Flight Simulator (PDF, 1.4 MB)
von Moritz Adelmeyer (1998)

Dieser Bericht dokumentiert ein Unterrichtsprojekt zur Raumgeometrie am Gymnasium. Das Projektziel ist die Erstellung eines eigenen einfachen Flugsimulationsprogramms. 

Geometry and Education in the Internet Age (in Englisch) (PDF, 576 KB)
von Ulrich H. Kortenkamp und Jürgen Richter-Gebert (1998)

In all modern secondary school curriculae geometry plays a major role. Besides its drawing skill training purposes it is used as a tool for teaching mathematical and logical reasoning. A computer drawing program that supports access to geometric constructions can help. It can serve as a geometric pocket calculator and relieve the student from the routine work. 

Elemente zur Kugelgeometrie (PDF, 410 KB)
von Franz Spirig (1997)

Der Bericht greift Kapitel aus der Raumgeometrie heraus: Die Kugelgeometrie. Die Wahl dieses Aspekes der Raumgeometrie ist nicht zufällig. Die Kugelgeometrie hat einerseits viele praxisbezogene Anwedungen und schlägt andererseits die Brücke zur nicht-euklidischen Geometrie. 

Notizen zur einer Mathematik fürs Leben (PDF, 714 KB)
von Christian Blatter (1997)

Der Text von Christian Blatter hat vor dem Hintergrund der aktuellen Debatte um die Hochschulreife (siehe Projekt HSGYM) wieder an Aktualität gewonnen. 

Analysis mit dem Computer-Algebra-System des TI-92 (PDF, 3 MB)
von Beat Eicke und Edmund Holzherr (1997)

In diesem Bericht wird ein ein Analysis-Unterricht mit konsequentem Einsatz des TI-92 entworfen. Ziel ist unter anderem anzudeuten, welches Wissen und welche algebraischen  Fertigkeiten für die Schülerinnen und Schüler  auch in Zukunft unverzichtbar sein werden. 

Schwimmende Prismen mit Schlagseite (PDF, 2.6 MB)
von W. Burgherr (1996)

Lässt man einen Holzquader auf dem Wasser schwimmen, so erwartet man allgemein, dass er eine eindeutige, gerade, d.h. symmetrische Lage einnehmen wird. In manchen Fällen trifft dies zu. Doch Quader mit gewissen Dichten und Formen schwimmen eigenartigerweise schief. Man ist zunächst geneigt, dieses Phänomen der inhomogenen Massenverteilung im Holz zuzuschieben. Doch weitere Experimente (und Rechnungen) zeigen bald, dass diese Schräglagen systematisch und in verblüffender Vielfalt auftreten. 
In dieser Arbeit wird versucht, das Problem der Schwimmlagen für lange Quader mit möglichst einfachen mathematischen Mitteln, d.h. auf Mittelschulniveau exakt zu lösen. Es wird der physikalisch einfachere Zugang über Kräfte und Drehmomente gewählt.

Warum ist denn exp (x2) nicht elementar integrierbar? (PDF, 1.1 MB)
von Martin Huber (1996)

Dieser Bericht liefert einige Beispiele von elementaren Funktionen, welche elementare Stammfunktionen besitzen. Allerdings ist keine allgemeine Regel erkennbar, wie man vom Integranden zur Stammfunktion gelangt. Anschliessend notiert der Autor drei Beispiele, von denen man weiss, dass ihre Stammfunktionen nicht elementar sind. 

Sattelpunkte oder Variationsprinzipien in Geometrie und Mechanik (PDF, 588 KB)
von Michael Struwe (1996)

Es werden Methoden entwickelt, wie man im Endlichdimensionalen Sattelpunkte charakterisieren kann. 

Quelle: Elem. Math. 52, No.2, 45-59 (1997). ISSN 0013-6018

Verfolgungsprobleme (PDF, 4.2 MB)
von Georg Schierscher (1995)

Man stelle sich vor, ein Jäger wandere mit konstanter Geschwindigkeit einer Waldstrasse entlang, wahrend sein Hund im Dickicht immer den Pfeiftönen des Meisters folgt. Wenn nach der Bahn gefragt wird, die der Hund bei der Verfolgung seines Herrn einschlägt, handelt es sich im mathematischen Sinn um ein Verfolgungsproblem. Der Bericht beleuchtet "Hundekurven", "Schleppkurven" und Schielwinkelkurven" und ihren Einsatz im Unterricht. 

Der Autor hat 38 "Turtle-Grafiken" aus dem Bericht aktualisiert. Sie sind in den ursprünglichen Farben als Zip-Download verfügbar (ZIP, 17.6 MB). Die neuen Grafiken lassen sich folgendermassen zuordnen:

  • Beispiel Bezeichnung alte Grafik
  • Beispiel Bezeichnung neue Grafik 
  • TG 2.1 (S. 22)
  • TG2-1.PS
  • TG A3.1 (S. 70)
  • TG-A3-1.PS

Grund- und Aufrissmethode in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (PDF, 2.2 MB)
von P. Gallin (1995)

Mathematikerinnen und Mathematiker lieben Eleganz und Kürze. Sobald für eine bestimmte Sorte von Aufgaben sich mehrere Veranschaulichungen und Lösungswege anbieten, ziehen sie die konzentriertere Variante vor. Dabei vergessen sie aber oft, dass solch elegante Kurzformen das Resultat eines langen Abstraktions-und Verbesserungsprozesses sind. Wenn ein Schüler das betreffende Sachgebiet zum ersten Mal erblickt, mag für ihn Kürze und Eleganz in keiner Weise als solche erkennbar werden. 
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung akzentuiert sich das Problem zusatzlich, weil viele Aufgaben so geartet sind, dass man das Resultat einfach hinschreibt, und kaum eine Möglichkeit besteht, sich durch irgendwelche lernbaren Teehniken und Hilfsmittel an die Lösung heranzutasten. Deshalb bin ich als Lehrer ausserst dankbar für Verfahren, die zwar weniger elegant sind, dafür aber mehr Tatigkeiten des Lösers erlauben. Meist ist die Baummethode in diesem Sinn geeigneter und es ist deshalb nicht verwunderlich, dass die Schüler ihr den Vorzug geben. 

Infinitesimalgeometrie - am Beispiel der Kreisevolvente (PDF, 2.6 MB)
von A. Gächter (1995)

Der Autor möchte die Schule aufmuntern, neben dem Steigungsbegriff auch den  Krümmungsbegriff zu pflegen. Dieser grüne Bericht zeigt auf, dass sich mit bescheidenen Mitteln neue Perspektiven für die Vermittlung der zentralen Idee "Krümmung" eröffnen lassen. 

Als Poincaré, Hadamard und Perron die Invarianten Mannigfaltigkeiten entdeckten (PDF, 6.1 MB)
von Urs Kirchgraber (1995)

In diesem Artikel geht es um die Geometrie in der Nähe eine hyperbolischen Fixpunktes, insbesondere um seine stabile und instabile Mannigfaltigkeit. Diese Ergebnisse gehen auf Poincaré zurück. 

Feigenbaum-Universalität: Beschreibung und Beweisskizze (PDF, 1.1 MB)
von U. Kirchgraber und N. Sigrist (1995)

Das Feigenbaum-Diagramm kennt heute fast jeder. Nur- was steckt wirklich dahinter? Die Antwort ist: Ein schöner geometrischer Satz, der im Kern auf Poincaré zurückgeht. In diesem Artikel werden die Leserinnen und Leser mit den Ideen von M. Feigenbaum bekannt gemacht. 

Auf der Kippe (PDF, 19.5 MB)
von N. Sigrist (1995)

Jeder und jede von uns hat wohl schon Situationen erlebt, die auf der Kippe standen, Situationen bei denen man das Gefühl hatte, der weitere Verlauf würde von sehr wenig abhängen und könnte so, oder auch ganz anders herauskommen. Ein Beispiel dafür sind sportliche Wettkämpfe zwischen zwei fast gleich starken Gegnern.
In diesem Bericht wird ein Gerät mathematisch diskutiert, bei welchem ebenfalls ein Umkippen auftreten kann. Damit soll nicht unterstellt werden, die vorher skizzierten Phänomene könnten mathematisch erklärt und beherrscht werden, aber es mag doch instruktiv sein, das Verhalten eines einfachen System in dieser Hinsicht zu untersuchen. 

Auto und Verkehr - Beispiele aus der Analysis zum realitätsnahen Mathematikunterricht (PDF, 35.6 MB)
von W. Henn (1994)

Im vorliegenden Bericht stellt der Autor W. Henn Beispiele aus dem Bereich Auto und Verkehr vor. Dabei geht er von konkreten Problemen aus der Schülerwelt aus, analysiert Daten aus dem Alltag und diskutiert relevante Umweltfragen, die mit Hilfe mathematischer Modellierung durchsichtiger gemacht werden. Abstrakte mathematische Begriffe werden veranschaulicht und konkretisiert, Begriffs- und Methodenverstärtdnis werden vertieft.

Erstens kommt es anders und zweitens als man denkt - Paradoxien im Umfeld der bedingten Wahrscheinlichkeit (PDF, 22.6 MB)
von F. Barth (1994)

Die Bedingte Wahrscheinlichkeit ist ein nicht unumstrittenes Thema des Stochastik-Unterrichts. Das liegt vor allem an der Problematik der Bayesschen Regel und der Diskussion um den subjektiven Wahrscheinlichkeitsbegriff, die sehr grundsätzlich und z. T. sehr heftig geführt wird. Im Unterricht kann man sich aber zunächst auf einfachere Probleme konzentrieren. Auch in diesem Bereich gibt es eine Reihe von wichtigen Einsichten zu gewinnen, die manchmal in der Gestalt von Paradoxien die Aufmerksamkeit auf sich ziehen, dann aber bei näherer Betrachtung sich als durchaus aktuell und bedeutsam für das Verständnis von Informationen erweisen.

Computergestützte Raumgeometrie (PDF, 36.5 MB)
von Heinz Klemenz (1994)

Der Bericht von Heinz Klemenz verfolgt einerseits die Absicht, ein für den gymnasialen Unterricht in Raumgeometrie konzipiertes Computerprogramm (3D-Geometer für den Apple Macintosh) mit Anleitung fertigzustellen. Andererseits möchte der Bericht der Lehrperson begleitendes Material mitgeben. Der vorliegende Bericht ist also zunächst für die Hand der Unterrichtenden gedacht. Mit seiner Unterstützung sollte es möglich sein, die wichtigsten Möglichkeiten des 3D-Geometers im wesentlichen ohne Benutzung der mitgelieferten Anleitung exemplarisch kennenzulernen. 

Kryptologie: Mathematik zwischen Anwendung und Ästhetik (PDF, 23.9 MB)
von U. Maurer (1994)

Die Kryptologie kann als die Wissenschaft der mathematischen und algorithmischen Aspekte der Informationssicherheit definiert werden. Sie befasst sich mit Protokollen für vielfältige Anwendungen wie z.B. Datenchiffrierung, digitale Unterschriften, Benutzeridentifikation in Computersystemen und digitales Geld, und verwendet verschiedene mathematische Theorien wie Algebra, Zahlentheorie, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheorie, usw. Einige interessante Themen der Kryptologie und überraschende Anwendungen der Mathematik werden diskutiert. Sie eignen sich zum Teil gut für den Mathematikunterricht auf Gymnasialstufe.

Hundert Jahre Störungstheorie - Differentialgleichungen von Poincare bis Nekhoroshev (PDF, 15 MB)
von U. Kirchgraber (1993)

Im Jahre 1892 veröffentlichte der französische Verlag Gauthier-Villars den ersten Band von Poincares "Les methodes nouvelles de la mecanique celeste". Im gleichen Jahr publizierte Liapunov "Das allgemeine Problem der Stabilität einer Bewegung". Aus Anlass dieser Jubiläen veranstaltete die Fakultät für Mathematik der Universität Würzburg im Sommersemester 1992 eine kleine Vortragsreihe. Dieser grüne Bericht stellt eine schriftliche Fassung eines Vortrages von Urs Kirchgraber dar. In dessen Zentrum steht ein himmelsmechanisches Problem. Die Methoden sind im Kern diejenigen von Poincare und Liapunov. 

Kongruenzabbildungen und Symmetrien im Euklidischen Raum (PDF, 49.5 MB)
von H. Biner (1993)

Das Skript ist aus einem dreijährigen Schulversuch entstanden. Es soll die Abbildungsgeometrie im euklidischen Raum abdecken, soweit diese am Gymnasium behandelt wird. Das ist natürlich nur ein Teil der Raumgeometrie, den man zudem mehr oder weniger ausbauen kann. Das Skirpt ist in fünf Kapitel aufgeteilt.

Alles fliesst: Mit dem Graphikrechner zu den Quellen der Analysis (PDF, 15.2 MB)
von H.R. Schneebeli (1993)

Bei einem Versuch nach Torricelli fliesst Wasser aus einem Gefäss durch eine kleine Öffnung aus. Das im Versuch beobachtete Verhalten des Pegels als Funktion der Zeit wird mathematisch modelliert.

Verzweigungsphänomene (PDF, 8.6 MB)
von H.R. Schneebeli (1993)

Verzweigungen treten als typische Phänomene in der nichtlinearen Analysis auf. Sie sind der Gegenstand, mit dem sich die sogenannte Bifurkationstheorie beschäftigt. Es soll hier versucht werden, ein neueres und nach wie vor sehr aktives und aktuelles Gebiet der modernen Analysis in geeigneter Bearbeitung für den Mathematikunterricht in der Mittelschule vorzustellen. 

Der Fallschirmspringer (PDF, 10.1 MB)
von H. Biner, H.P. Dreyer, W. Hartmann (1993)

Die vorliegende Arbeit zeigt am Beispiel des Fallschirmspringers auf, wie Probleme aus der Mechanik im Mathematikunterricht mit den bereitgestellten klassischen Werkzeugen aus Algebra und Analysis behandelt werden können.

Perspektive und Axonometrie (PDF, 45.4 MB)
von P. Gallin, H. Keller, Hj. Stocker  (1993)

Im Bericht schildern die Autoren Ideen und Erfahrungen zu zwei Themen der Raumgeometrie, die bisher eher am Rande der Darstellenden Geometrie angesiedelt waren: Zentralperspektive, die wir auch einfach Perspektive nennen, und Normale Parallelprojektion eines Koordinatenwürfels, die in der Regel Normale Axonometrie heisst. Die Autoren sind überzeugt, dass es sich lohnt, diese Kapitel ans Licht zu holen, nicht nur in der Angewandten Mathematik des mathematisch-naturwissenschaftlichen Gymnasiums, sondern auch im Geometrieunterricht der übrigen gymnasialen Typen. Denn beide eignen sich für einen sehr anschaulichen Einstieg auf handwerklichem Niveau und lassen Entwicklungen in verschiedene Richtungen offen.

Chaotisches Verhalten in einfachen Systemen (PDF, 23.4 MB)
von Urs Kirchgraber  (1992)

Mathematische Theorien erregen selten das Interesse der Öffentlichkeit. Dass es im Zusammenhang mit so genannten chaotischen Verhalten doch dazu gekommen ist, hat mindestens zwei Gründe. Erstens geht es um Prognosefähigkeit - eine Thematik, die fast jeden anspricht. Zweitens sind einige Effekte mit dem PC oder gar dem Taschenrechner visualisierbar und damit auch für einen Laien erfahrbar.
In diesem Artikel geht es darum, einen grundlegenden mathematischen Satz über chaotisches Verhalten zu beschreiben und die Elemente seines Beweises zu skizzieren: den Satz von Poincare-Smale, wie man ihn nennen könnte.

Zur Theorie der sozialen Entscheidungen: Das Arrow-Paradoxon bei Abstimmungen über mehrere Alternativen (PDF, 21.7 MB)
von Margrit Gauglhofer  (1991)

Die Theorie der sozialen Entscheidungen befasst sich mit dem
Problem der Aggregation der individuellen Präferenzenordnungen
über mehrere Alternativen zu elner kollektiven Präferenzenordnung"
oder mindestens der Bestimmung einer (kollektiv) besten
Alternative. Sie beschäftigt sich also mit dem Problem der
Abstimmunq über mehrere Alternativen.

Preistheorie (PDF, 11.9 MB)
von Martin Federer  (1991)

Die vorliegende Arbeit enthält Probleme aus der Volkswirtschaftslehre, die im Mathematikunterricht des Gymnasiums behandelt werden können. Es geht hier also nicht um eine Einfühhrung in die Preis theorie als Teil der Volkswirtschaftslehre. Die Schülerinnen und Schüler des Wirtschaftsgymnasiums sollten die nötigen Grundkenntnisse aus den Ökonomie-Fächern mitbringen. In den andern Gymnasiumstypen wird es nötig sein, bei der Erläuterung der wichtigsten Begriffe etwas weiter auszuholen.

Smale's Beweis des Fundamentalsatzes (PDF, 5.6 MB)
von Urs Kirchgraber (1991)

Der bekannte "Satz über implizite Funktionen" und der damit eng verwandte "Satz über die Umkehrabbildung"- er besagt, dass eine Abbildung in einer Umgebung einer regulären Stelle bijektiv ist - sind typisch lokale Resultate. Im Gegensatz dazu ist der Fundamentalsatz der Algebra (auch Satz von Gauss genannt) ein globales Resultat: zu einem Polynom p gibt es irgendwo in der komplexen Ebene eine Stelle, an der p verschwindet. Smale hat einen neuen Beweis dieses Satzes gegeben, der 'auf der wiederholten Anwendung des Satzes über die Umkehrabbildung beruht; das globale Ergebnis wird also auf ein lokales Resultat zurückgeführt. In dieser Notiz wird der Beweis von Smale ausgeführt.

Schlecht gestellte Probleme - oder wenn das Ungenaue genauer ist (PDF, 27.4 MB)
von U. Kirchgraber, A. Kirsch und D. Stoffer  (2001)

Für schlecht gestellte Probleme sollten sich laut den Autoren auch Lehrpersonen interessieren. Aus vier Gründen: 

  • Das Thema wirft auch für die Schule etwas ab, und zwar auf verschiedenen Stufen.
  • Es ist ein verständliches Stück Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderts. 
  • Es zeigt exemplarisch, welche Bedeutung Mathematik für alle hat . 
  • Es ist nicht zuletzt (aber keineswegs ausschliesslich!) für den Unterricht im Schwerpunktfach Physik und Anwendungen der Mathematik von Interesse.

Formalisierung und künstliche Intelligenz - eine mögliche Behandlung in der Schule (PDF, 29 MB)
von Armin P. Barth (1990)

Anhand anschaulicher Beispiele disktiert Armin P. Barth Möglichkeiten, wie künstliche Intelligenz im Unterricht behandelt werden kann. 

Das Paradoxon von Hausdorff, Banach und Tarski: Kann man es "verstehen?" (PDF, 718 KB)
von Arnold Kirsch (April 1990)

Arnod Kirsch stellt die Frage, ob man das Paradoxon von Hausdorff, Banach und Tarski verstehen kann. Ein Auszug: "Seit ich als Student vor 40 Jahren diesem Paradoxon begegnet bin, habe ich mir immer gewünscht, es "wirklich zu verstehen", nicht nur in dem Sinn, daß ich es korrekt wiedergeben und mit eigenen Worten anders formulieren, daß ich weitere "paradoxe" Aussagen daraus folgern, daß ich seinen Beweis blind nachvollziehen konnte. Aber ein Beweis befriedigt erst dann voll, wenn er auch die Einsicht vermittelt, warum etwas sich so und nicht anders verhält."

Von Mathematik und Mathematikunterricht (PDF, 1.2 MB)
von Urs Kirchgraber (Februar 1990)

In seiner Arbeit stellt Urs Kirchgraber Überlegungen zum Mathematikunterricht an und diskutiert die Frage, wie guter Mathematikunterricht beschaffen sein sollte. Ein Auszug: "Es ist wichtig, dass im Mathematikunterricht das Grundsätzliche sichtbar gemacht wird. Warum ist der Satz des Pythagoras ein interessanter Satz, was ist der Unterschied zwischen dem Satz des Pythagoras und z.B. dem Satz vom gemeinsamen Schnittpunkt der drei Höhen?" 

Theorem von Sarkovskii (PDF, 644 KB)
von Moritz Adelmeyer (Januar 1990)

Diese Arbeit präsentiert einen detailliert ausgearbeiteten Beweis des Theorems von Sarkovskii über die Koexistenz periodischer Punkte in stetigen Abbildungen der reellen Achse. 

Zwei Fallstudien zur Geometrie (PDF, 1.1 MB)
von Hansruedi Schneebeli (Dezember 1989)

In diesem Bericht werden zwei Beispiele für Unterrichtsprojekte zur Mittelschulgeometrie vorgestellt. 

  • Kinematik des Kreuzgelenkes als Beispiel zu einer Ingenieuranwendung
  • Verallgemeinerung von Sätzen aus der Planimetrie auf die Raumgeometrie mit Beispielen zur Heuristik in der reinen Geometrie.

Fraktale (PDF, 1.2 MB)
von Hans Walser (November 1989)

Der vom Mandelbrot geprägte Begriff des Fraktals hat in den vergangenen Jahren eine grosse Verbreitung gefunden; jedem Hobby-Programmierer ist mittlerweile das Beispiel der Mandelbrotmenge bekannt. Hans Walser geht in diesem Bericht der Frage nach, wie weit dieser Begriff in den Schulunterricht - auch ausserhalb des Informatikunterrichts - eingebunden werden kann. 

 
 
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21.05.2017
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